Решение задач «1. в выпуклом четырехугольнике авсd точки м, n, k»,
Математика в Красноярске

1. В выпуклом четырехугольнике АВСD точки М, N, K, L расположены соответственно на сторонах АВ, BC, CD, AD так, что AM : AB = DK : DC ? ? , BN : BC = AL : AD ? ? . Отрезки MK и NL пересекаются в точке P. Докажите, что LP : LN ? ? , MP : MK ? ? 2. Задан квадрат ABCD, у которого на противоположных сторонах AB и CD отмечены точки Е и F. Постройте точку М на стороне ВС и точку N на стороне AD так, чтобы отрезок MN был параллелен стороне AB, а длина ломаной EMNF была наименьшей 3. В треугольнике АВС со сторонами AB =2, AC ? 3, биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке K. Найдите: а) отношение BK : KM ; б) отношение площади четырехугольника CMKL к площади треугольника ABK 4. В треугольнике АВС медианы AM и BN перпендикулярны и AM : BN = 2 : 3 . Найдите косинус угла АСB 5. В треугольнике ABC со сторонами AB ? 3?2 , BC ? 5 и углом ABC , равным 45? , найдите косинус угла между прямыми, содержащими медианы АK и CL 6. В выпуклом четырехугольнике АВСD точки М, N, K, L расположены соответственно на сторонах АВ, BC, CD, AD так, что AM : AB = DK : DC ? ? , BN : BC = AL : AD ? ? . Отрезки MK и NL пересекаются в точке P. Докажите, что LP : LN ? ? , MP :MK ? ?