Решение задач «Задание 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью...»,
Математика в Красноярске

Задание 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности. Найти: 1) коэффициент C; 2) построить график плотности распределения; 3) вычислить математическое ожидание M(X). Для определения коэффициента c найдем значение, при котором плотность вероятности интегрируется в единицу. Для этого интегрируем функцию f(x) по всему диапазону значений: ??? cx^5 dx = 1 Вычислим данный интеграл: ??? cx^5 dx = c ??? x^5 dx = c [?x?]?? = 1. Подставим значения в данное уравнение: c [1/6*(3^6-0^6)] = 1 c [1/6*729] = 1 c = 6/729 c = 2/243 Теперь построим график плотности распределения. График будет иметь вид прямой линии от 0 до 3, с углом наклона равным 2/243, а после точки 3 будет равен 0. Для вычисления математического ожидания m(x) нужно найти интеграл ??? x * f(x) dx. Вычислим его: ??? x * f(x) dx = ??? x * (2/243) * x^5 dx = (2/243) ??? x^6 dx = (2/243) * (1/7)*(3^7-0^7) = (2/243) * (2187/7) = 6/7 Таким образом, коэффициент c равен 2/243, график плотности распределения будет представлять собой прямую линию соединяющую точки (0, 0) и (3, 2/243), а математическое ожидание m(x) равно 6/7. Задание 4. Случайная величина X имеет нормальное распределение, известно a и ?. Записать плотность распределения и построить её график; найти вероятность попадания в заданный интервал и соответствующую область под графиком заштриховать Для построения графика плотности распределения нормальной случайной величины необходимо использовать формулу: f(x) = (1/?(2??^2)) * e^((-1/2)*((x-a)/?)^2) где a - среднее значение случайной величины, ? - стандартное отклонение. Подставляя значения a = -1 и ? = 1 в формулу, получаем: f(x) = (1/?(2?))*e^((-1/2)*(x+1)^2) Для нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал [-2, 0], необходимо проинтегрировать плотность распределения на этом интервале: P(-2 < x < 0) = ?(-2, 0) f(x) dx Для нахождения области под графиком, соответствующей этой вероятности, можно построить график плотности распределения и закрасить эту область заштриховкой.